|
28.22. Постройте триномиальное дерево по модели Хо-Ли, в которой σ = 0,02. Предположим, что начальная нуль-купонная процентная ставка для сроков погашения через 0,5, 1,0 и 1,5 года равна 7,5, 8 и 8,5%. Используйте два шага по времени, длиной по шесть месяцев каждый. Вычислите стоимость облигации с нулевым купоном и номинальной стоимостью 100 долл. при условии, что после достижения финального узла дерева до погашения облигации остается шесть месяцев. Используя дерево, оцените стоимость однолетнего европейского опциона на покупку облигации с ценой исполнения 95. Сравните цену, вычисленную с помощью дерева, с ценой, вычисленной по программе DerivaGem.
28.23. Некий трейдер желает вычислить цену однолетнего американского опциона на покупку пятилетней облигации с номинальной стоимостью 100 долл. Купонные выплаты по облигации равны 6% и осуществляются раз в полгода. Котировочная цена исполнения опциона равна 100. Непрерывно начисляемые нуль-купонные ставки для сроков погашения через шесть месяцев, один год, два года, три года, четыре года и пять лет равны 4,5, 5, 5,5, 5,8, 6,1 и 6,3%. Оптимальная скорость возвращения к среднему в рамках как нормальной, так и логнормальной модели равна 5%.
Однолетний европейский опцион на покупку облигации с котировочной ценой исполнения, равной 100, является предметом активной купли-продажи. Его рыночная цена равна 0,50 долл. Трейдер решил использовать этот опцион для калибровки модели. Используя программу DerivaGem и десять шагов по времени, ответьте на следующие вопросы.
1) Используя нормальную модель, укажите подразумеваемое значение σ для цены европейского опциона.
2) Используя параметр σ, вычислите стоимость американского опциона.
3) Повторите пп. 1 и 2 для логнормальной модели. Докажите, что используемая модель незначительно влияет на вычисленную цену при условии, что модель калибруется с помощью европейского опциона.
4) Постройте дерево для логнормальной модели и вычислите вероятность появления отрицательных процентных ставок.
5) Постройте дерево для логнормальной модели и докажите, что цена опциона в узле i = 0 и j = –1 вычислена правильно.
28.24. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость европейских свопционов 1x4, 2x3, 3x2 и 4x1, дающих право получать плавающую ставку и выплачивать фиксированную. Предположим, что однолетняя, двухлетняя, трехлетняя, четырехлетняя и пятилетняя процентные ставки равны 3, 3,5, 3,8, 4,0 и 4,1% соответственно. Выплаты по свопу осуществляются раз в полгода, а фиксированная ставка равна 4% в год при полугодовом начислении. Используйте логнормальную модель с параметрами а = 5% и σ = 1%, а также 50 шагов по времени. Вычислите волатильность каждого опциона, подразумеваемую в модели Блэка.
28.25. Убедитесь, что программа DerivaGem действительно строит дерево, изображенное на рис. 28.11. Используя эту программу, вычислите цену американского облигационного опциона в логнормальной и нормальной моделях, если цена исполнения равна 95, 100 и 105 долл. Для нормальной модели предполагается, что а = 5% и σ = 1%. Обсудите результаты, учитывая эффект тяжести хвостов, упомянутый в главе 16.
28.14. Модифицируйте пример Sample Application G в надстройке DerivaGem Application Builder и убедитесь, что цены, вычисленные по триномиальному дереву, сходятся к цене двухлетнего опциона на покупку пятилетней облигации с номинальной стоимостью 100 долл. Предположим, что нулевая кривая представлена в табл. 28.2. Сравните решения следующих задач.
1) Европейский опцион; нормальная модель с параметрами а = 0,05 и σ = 0,01.
2) Европейский опцион; логнормальная модель с параметрами а = 0,05 и σ = 0,15.
3) Американский опцион; нормальная модель с параметрами а = 0,05 и σ = 0,01.
4) Американский опцион; логнормальная модель с параметрами а = 0,05 и σ = 0,15.
|
