Вопросы и задачи
29.1. Объясните разницу между марковской и немарковской моделями краткосрочной процентной ставки.
29.2. Докажите зависимость между дрейфом и волатильностью форвардной ставки в многофакторной модели HJM в формуле (29.6).
29.3. “Если волатильность форвардной ставки τ(t, T) является постоянной, то модель LMM совпадает с моделью Хо-Ли.” Докажите это утверждение, показав, что модель LMM порождает стохастический процесс, описывающий поведение цен облигаций и согласованный с моделью Хо-Ли из главы 28.
29.4. “Если волатильность форвардной ставки τ(t, Т) равна σe-α(T – t), то модель LMM совпадает с моделью Халла-Уайта.” Докажите это утверждение, показав, что модель LMM порождает стохастический процесс, описывающий поведение цен облигаций и согласованный с моделью Хо-Ли из главы 28.
29.5. В чем заключается преимущество модели LMM над моделью BGM?
29.6. Приведите интуитивные доказательства того, что при увеличении количества факторов стоимость опциона “храповой кэп” возрастает.
29.7. Докажите, что уравнение (29.10) сводится к уравнению (29.4), если величина δi стремится к нулю.
29.8. Почему опцион “жесткий кэп” имеет большую стоимость, чем аналогичный опцион “храповой кэп”?
29.9. Почему опционы на ценные бумаги IO и РО противоположным образом реагируют на изменение уровня предоплаты?
29.10. “Спрэд с учетом опциона аналогичен доходности облигации.” Объясните смысл этого утверждения.
29.11. Докажите справедливость формулы (29.15).
29.12. Выведите формулу для вычисления функции V(t) в формуле (29.17).
29.13. Докажите справедливость формулы (29.19).
Упражнения
29.14. В опционе “кэп” с ежегодными выплатами волатильности кэплетов, срок действия которых заканчивается через 1, 2, 3 года и 5 лет, равны 18, 20, 22 и 20% соответственно. Оцените волатильность однолетней форвардной ставки в модели рынка LIBOR, если до окончания срока действия опциона осталось 1) не больше одного года; 2) от одного года до двух лет; 3) от двух до трех лет или 4) от трех до пяти лет. Будем считать, что нулевая кривая проходит горизонтально на уровне 5% годовых (при ежегодном начислении). Используя программу DerivaGem, оцените слабую волатильность 2-, 3-, 4-, 5- и 6-летних опционов “кэп”.
29.15. Держатель опциона “гибкий кэп”, описанного в разделе 29.2, обязан исполнить первые N выигрышных кэплетов. После этого ни один кэплет не исполняется (например, N = 5). Существует еще две разновидности опциона “гибкий кэп”.
1) Держатель может выбрать, какой из кэплетов следует исполнить, но общее количество исполняемых кэплетов не должно превышать N.
2) Решив исполнить кэплет, держатель должен исполнить все последующие выигрышные кэплеты, количество которых не должно превышать N.
Обсудите проблемы, связанные с этими разновидностями опционов “гибкий кэп”. Какой из указанных трех опционов “гибкий кэп” является самым дорогим? Какой из указанных трех опционов “гибкий кэп” является самым дешевым?
|
