Вопросы и задачи. Упражнения

Вопросы и задачи

31.1. Объясните разницу между подходом, связанным с концепцией чистой текущей стоимости, и риск-нейтральным подходом к оценке новых капиталовложений. Какие преимущества риск-нейтральный подход имеет над концепцией чистой текущей стоимости?

31.2. Рыночная цена риска, связанного с ценами на уголь, равна 0,5, волатильность цен на уголь равна 20% в год, цена спот равна 80 центов за фунт, а шестимесячная фьючерсная цена равна 75 центов за фунт. Чему равна скорость относительного роста цен на уголь в течение шести месяцев?

31.3. Рассмотрим товар с постоянной волатильностью σ, ожидаемая скорость роста цен которого является функцией, зависящей только от времени. Покажите, что в традиционном риск-нейтральном мире справедлива оценка

где S_T – стоимость товара в момент Т, a F(t) – фьючерсная цена товара в нулевой момент времени по контракту, срок действия которого истекает в момент t.

31.4. Выведите соотношение между удобной доходностью товара и его рыночной ценой риска.

31.5. Корреляция между валовым доходом компании и рыночным индексом равна 0,2. Величина, на которую доходность рынка превышает безрисковую процентную ставку, равна 6%, а волатильность рыночного индекса равна 18%. Чему равна рыночная цена риска, связанного с валовым доходом компании?

31.6. Компания может купить опцион на поставку одного миллиона баррелей нефти в течение трех лет по цене 25 долл. за баррель. Трехлетняя фьючерсная цена нефти равна 24 долл. за баррель. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых при непрерывном начислении, а волатильность фьючерсных цен равна 20% в год. Сколько стоит этот опцион?

31.7. Водитель, заключающий договор об аренде автомобиля, приобретает право купить этот автомобиль через четыре года по цене 10000 долл. Текущая стоимость автомобиля равна 30 000 долл. Стоимость автомобиля S подчиняется стохастическому процессу

где μ = -0,25, σ = 0,15, a dz – винеровский процесс. Рыночная цена риска, связанного с ценой автомобиля, равна -0,1. Чему равна стоимость опциона? Будем считать, что безрисковая процентная ставка по всем срокам погашения равна 6%.

Упражнения

31.8. Предположим, что цена спот, а также 6- и 12-месячные фьючерсные цены на пшеницу равны 250, 260 и 270 центов за бушель соответственно. Предположим, что цена пшеницы описывается стохастическим процессом, заданным формулой (31.4) при a = 0,05 и σ = 0,15. Постройте двухуровневое дерево для цены на пшеницу в риск-нейтральном мире. Предположим, что фермер пытается оценить проект, связанный с вложением 10000 долл. сразу и 90000 долл. в течение следующих шести месяцев. Это проект увеличит количество собранной и проданной пшеницы до 40 000 бушелей в год. Чему равна стоимость этого проекта? Предположим, что фермер может отказаться от проекта в течение шести месяцев и не платить 90 000 долл. Чему равна стоимость опциона на отказ от проекта? Будем считать, что безрисковая процентная ставка равна 5% при непрерывном начислении.

31.9. Вернемся к примеру, связанному с нефтяной компаний, рассмотренному в разделе 31.6.

1) Сколько стоит опцион на отказ от проекта, если стоимость проекта равна трем миллионам долларов, а не нулю?

2) Сколько стоит опцион на расширение проекта, если стоимость проекта равна пять миллионов долларов, а не три?