|
В начале главы рассмотрены свойства стохастического процесса, описывающего поведение цены акции и впервые рассмотренного в главе 12. Этот процесс основан на предположении, что распределение возможных значений цены акции в некоторый будущий момент времени является логнормальной случайной величиной.
Кроме того, при его выводе предполагалось, что непрерывно начисляемая доходность акции за расчетный период времени имеет нормальное распределение. При увеличении длины прогнозируемого периода неопределенность цены акции возрастает. Стандартное отклонение логарифма цены акции прямо пропорционально квадратному корню из длины прогнозируемого интервала времени.
Для того чтобы оценить волатильность цены акции σ, необходимо зарегистрировать значения цены акции за фиксированные интервалы времени (например, каждый день, неделю или месяц). Затем нужно вычислить значения натурального логарифма отношений цен акции, зафиксированных в конце каждого интервала разбиения, к ценам акции, зафиксированным в начале соответствующего периода. Волатильность представляет собой стандартное отклонение этих чисел, деленное на длину временного интервала в годах. Как правило, при оценке волатильности дни, в которые биржа не работала, игнорируются.
Дифференциальное уравнение, решением которого является стоимость любой производной ценной бумаги, зависящей от акций, можно вывести, заняв безрисковую позицию по опциону и соответствующей акции. Поскольку дериватив и цена акции зависят от одного и того же источника неопределенности, такой инвестиционный портфель существует всегда. Созданная позиция остается безрисковой только на протяжении очень короткого периода времени. Однако в отсутствие арбитражных возможностей доходность безрисковой позиции должна всегда равняться безрисковой процентной ставке.
Ожидаемая доходность акции не входит в уравнение Блэка-Шоулза. Это позволяет применить риск-нейтральную теорию, которая утверждает, что при оценке дериватива, зависящего от акций, условия можно считать риск-нейтральными. Следовательно, мы имеем право предполагать, что ожидаемая доходность акций равна безрисковой процентной ставке, а затем применить ее для дисконтирования ожидаемого выигрыша. Формулы Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов "колл" и "пут" можно вывести, либо решив соответствующее дифференциальное уравнение, либо применив риск-нейтральный подход.
Подразумеваемой волатильностью называется изменчивость, которая в сочетании с формулами Блэка-Шоулза дает рыночную оценку опциона. Трейдеры, как правило, вычисляют подразумеваемую волатильность на основе активно котируемых опционов, а затем интерполируют полученные оценки на менее популярные опционы. Эмпирические исследования показывают, что волатильность акций в операционные дни значительно выше, чем в дни, когда биржа закрыта. Таким образом, можно предположить, что на волатильность цены акции в значительной мере влияют сами торги.
Результаты Блэка-Шоулза позволяют вычислить также стоимость европейских опционов на покупку и продажу акций, приносящих дивиденды. Для этого из всех значений цены акции вычитается текущая стоимость дивидендов, ожидаемых на протяжении срока действия опциона.
Теоретически американские опционы "колл" можно исполнить досрочно непосредственно перед любой датой "без дивидендов". На практике же американские опционы обычно исполняют непосредственно перед последней выплатой дивидендов. Фишер Блэк предложил вычислительную процедуру (аппроксимацию Бл-эка), которая позволяет вычислить стоимость американского опциона "колл" как максимальную из двух цен европейских опционов "колл". Первый из этих европейских опционов исполняется одновременно с американским, а второй – непосредственно перед последней выплатой дивидендов.
|
