Для доказательства формулы Блэка-Шоулза-Мертона докажем сначала ключевой результат, который будет очень полезен в дальнейшем.
Ключевой результат
Если величина V имеет логнормальное распределение и стандартное отклонение In V равно w, то
Доказательство ключевого результата
Обозначим через g(V) плотность вероятности случайной величины V. Тогда
(13.1.2)
Переменная In V имеет нормальное распределение со стандартным отклонением w. Из свойств логнормального распределения следует, что математическое ожидание случайной величины In V равно m, где
(13.1.3)
Введем новую переменную
(13.1.4)
Эта переменная имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением. Обозначим ее плотность вероятности через h(Q). Тогда
Используя формулу (13.1.4), преобразуем выражение, стоящее в правой части уравнения (13.1.3), из интеграла по переменной V В интеграл по переменной Q.
Поскольку N(x) – вероятность того, что нормально распределенная переменная с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией меньше величины х, первый интеграл в уравнении (13.1.6) равен
Аналогично второй интеграл в уравнении (13.1.6) равен N(d2)- Таким образом, уравнение (13.1.6) принимает следующий вид.
Подставляя в него выражение для т из формулы (13.1.3), получаем требуемый результат.
Результат Блэка-Шоулза-Мертона
Рассмотрим опцион на покупку бездивидендной акции со сроком действия Т. Цена исполнения опциона равна К, безрисковая процентная ставка – r, текущая цена акции – S0, а волатильность – σ. Как следует из формулы (13.22), стоимость опциона с равна следующей величине.
Из ключевого результата, доказанного выше, и уравнения (13.1.7) следует, что
|