19.1. Оценка волатильности

Пусть σ_n – волатильность рыночного показателя в n-й день, вычисленная в конце (n – 1)-го дня. Квадрат волатильности σ²_n называется дисперсией (variance rate) в n-й день.

Стандартный метод оценки параметра σ_п на основе ретроспективных данных приведен в разделе 13.4. Допустим, что значение рыночного показателя в конце i-го дня равно S_i, а показатель u_i представляет собой непрерывно начисляемую доходность на протяжении i-го дня (т.е. между концом (i – 1)-го дня и концом i-го дня).

Несмещенная оценка дисперсии σ²_n на основе последних m измерений показателя u_i имеет вид

где u – математическое ожидание показателя u_i.

При вычислении показателя VaR формулу (19.1), как правило, корректируют несколькими способами.

1. Величину u_i определяют как относительное изменение рыночного показателя за период времени, прошедший между концом (i – 1)-го дня, так что

2. Величину u полагают равной нулю.

3. Знаменатель m – 1 заменяют числом m.

Эти модификации слабо влияют на оценки дисперсии, однако позволяют переписать формулу (19.1) в упрощенном виде:

где значения u_i вычисляются по формуле (19.2).

Схемы взвешивания

В формуле (19.3) веса всех величин u²_n-1, u²_n-2, ..., u²_n-m, одинаковы. Поскольку наша цель – оценить текущий уровень волатильности σ_n, имеет смысл придать более свежим данным больший вес и переписать формулу (19.3) иначе.

Коэффициент α_i представляет собой вес, приписанный наблюдению, сделанному i дней назад. Все коэффициенты α_i являются положительными числами. Если их выбрать таким образом, чтобы при i > j выполнялось условие α_i < α_j, то более старые наблюдения получили бы меньшие веса. Сумма всех весов должна быть равной единице.

С учетом долговременной средней дисперсии (long-run average variance) формула (19.4) принимает следующий вид.

Здесь V_L – долговременная дисперсия, а γ – ее вес. Поскольку сумма всех весов должна быть равной единице, должно выполняться следующее условие.

Эта формула лежит в основе так называемой модели ARCH(m), предложенной ЭНГЛОМ (Engle). Эта оценка дисперсии учитывает долговременную среднюю дисперсию и т наблюдений, причем чем старее данные, тем меньше их вес. Введя обозначение ω = γV_L, уравнение (19.5) можно переписать следующим образом.

Именно эта модель используется для оценки параметров.

В следующих двух разделах мы обсудим два важных метода отслеживания волатильности, основанные на формулах (19.4) и (19.5).