22.4. Сложные опционы

Сложный опцион представляет собой опцион на опционный контракт. Существует четыре основных типа сложных опционов: опцион на покупку опциона “колл”, опцион на продажу опциона “колл”, опцион на покупку опциона “пут” и опцион на продажу опциона “пут”. Сложные опционы имеют две цены исполнения и две даты завершения. Рассмотрим, например, опцион на покупку опциона “колл”. При наступлении первой даты исполнения Т₁, владелец сложного опциона имеет право заплатить первую цену исполнения К₁ и получить опцион “колл”, дающий ему право купить базовый актив по второй цене исполнения К₂ во второй момент исполнения Т₂. Сложный опцион следует исполнять только, если его стоимость в момент Т₁ превышает стоимость первой цены исполнения.

Если принять обычные предположения о том, что цена актива описывается геометрическим броуновским движением, то стоимость европейского сложного опциона можно вычислить аналитически, интегрируя двухмерное нормальное распределение. Используя обычные обозначения, стоимость европейского опциона на покупку опциона “колл” в нулевой момент времени можно вычислить по следующей формуле.

Здесь функция M(a, b; p) – это интегральная функция двухмерного нормального распределения, представляющая собой вероятность того, что первый аргумент а меньше второго аргумента b при условии, что коэффициент корреляции между ними равен р? Переменная S* – это цена актива в момент Т₁, для которого цена опциона в момент Т₁ равна К₁. Если фактическая цена актива в момент Т₁ больше величины S*, первый опцион должен быть выполнен, в противном случае его исполнение не имеет смысла.

Используя те же обозначения, запишем формулу для вычисления стоимости европейского опциона на продажу опциона “колл”.

Стоимость европейского опциона на покупку опциона “пут” вычисляется по следующей формуле.

Для вычисления стоимости европейского опциона на продажу опциона “пут” используется такая формула.