25.2. Несколько переменных состояния

Предположим, что несколько переменных θ₁, θ₂, ..., θ_п описываются стохастическими процессами

где dz_i – винеровские процессы. Параметры m_i и s_i; представляют собой ожидаемую скорость роста и волатильность соответственно. Они могут зависеть от переменных и времени. В приложении 25.1 приведен вариант леммы Ито для функций, зависящих от нескольких переменных. Из нее следует, что процесс, описывающий поведение стоимости ценной бумаги f, зависящей от переменных θ_i, имеет следующий вид.

В этом уравнении величина μ представляет собой ожидаемую доходность ценной бумаги, а величина σ_i dz_i – компонент риска этой доходности, связанный с переменной θ_i.

В приложении 25.1 показано, что

где λ_i – рыночная цена, риска, связанного с переменной θ_i. Это равенство связывает избыточную доходность, ожидаемую инвесторами, с величинами λ_i и σ_i. Равенство (25.9) представляет собой частный случай равенства (25.13) при п = 1. Член λ_iσ_i в правой части равенства определяет, насколько зависимость цены дериватива от переменной θ_i влияет на ожидаемую избыточную доходность. Если λ_iσ_i = 0, то эффект отсутствует; если λ_iσ_i > 0, то инвесторы ожидают более высокой компенсации за риск, связанный с переменной θ_i; если λ_iσ_i < 0, то зависимость ценной бумаги от переменной θ_i вынуждает инвесторов смириться с более низкой доходностью, чем можно было бы ожидать. Ситуация, когда λ_iσ_i < 0, возникает, когда переменная снижает, а не увеличивает риск, которому подвергается инвестиционный портфель типичного инвестора.

Пример 25.3

Цена определенной акции зависит от трех переменных: цены на нефть, цены на золото и величины фондового индекса. Предположим, что рыночные цены риска, связанного с этими переменными, равны 0,2, –0,1 и –0,4 соответственно. Допустим также, что множители σ_i в уравнении (25.12), связывающем эти три переменные, равны 0,05, 0,1 и 0,15 соответственно. Избыточная доходность акций равна

т.е. 6,0% годовых. Если на стоимость ценной бумаги влияют еще какие-либо переменные, то этот результат останется правильным при условии, что рыночная цена риска, связанного с каждой из дополнительных переменных, равна нулю.

Равенство (25.13) тесно связано с арбитражной теорией расчетов (arbitrage pricing theory), разработанной Стивеном Россом (Stephen Ross) в 1976 году. Модель оценки капитальных активов с непрерывным временем (САРМ – capital asset pricing model) представляет собой частный случай модели, предложенной Россом. Модель САРМ утверждает, будто инвесторы требуют, чтобы избыточная доходность компенсировала любой риск, коррелирующий с риском, которому подвергается доходность фондового рынка, но не требуют компенсации других рисков.

Риски, коррелирующие с риском, которому подвергается доходность фондового рынка, называются систематическими (systematic), а другие риски называются несистематическими (nonsystematic). Если модель САРМ верна, то величина λ_i прямо пропорциональна коэффициенту корреляции между изменениями переменной θ_i и доходностью всего рынка. Если переменная θ_i не коррелирует с доходностью всего рынка, то величина λ_i равна нулю.