7.4. Сравнительный анализ эффективности многокритериального и монокритериального методов отбора

После того как мы ознакомились с основными понятиями многокритериального отбора, настало время ответить на вопрос, вынесенный в заглавие настоящего раздела: имеет ли многокритериальный метод отбора преимущества перед монокритериальным? На первый взгляд многокритериальный отбор представляется гораздо более высокотехнологичным и передовым с точки зрения научного подхода. С другой стороны, известно, что при исследовании динамических систем (каковыми являются финансовые рынки) грубые и приближенные методы оценки зачастую дают лучшие результаты, нежели технологии, базирующиеся на тонкой настройке. Поэтому ответ на поставленный вопрос не очевиден и требует специального исследования.

Чтобы наиболее полно изучить этот практически важный вопрос, рассмотрим 11 критериев и все возможные их парные сочетания (всего 55 сочетаний, табл. 8.2.1). Воспользуемся стратегией «короткий стрэдл/стрэнгл» и методикой построения комбинаций, применявшейся в предыдущих примерах.

На 1 марта 2007 г. рассчитаем значения всех критериев, а также прибыли или убытки каждой из 600 комбинаций на дату экспирации.

Для каждой пары критериев определим 20 слоев множества Парето. Для каждого слоя рассчитаем среднюю прибыль р ⁱ_j входящих в него комбинаций (i – номер паретовского слоя, j – номер пары критериев). Прибыль определяется на дату экспирации и выражается как процент от маржевых требований. Для всех пар критериев сформируем также аддитивную свертку и рассчитаем среднюю прибыль отобранных по соответствующей свертке комбинаций. Чтобы результаты отбора по свертке были сопоставимы с паретовскими результатами, для каждой из 55 пар критериев определим среднюю прибыль sⁱ_j (i – номер паретовского слоя, j – номер пары критериев) по количеству комбинаций, равному их количеству в каждом слое паретовского множества. То есть если для некой пары критериев в первом паретовском слое существует 5 комбинаций, во втором –12, в третьем – 24 (и так далее до 20-го слоя), то и по свертке этих же критериев рассчитаем среднюю прибыль для 5,12,24 (и так далее) лучших по свертке комбинаций. Выполнив расчеты, получим показатели рⁱ средней прибыли на комбинацию при отборе по паретовскому методу и sⁱ – по свертке. После этого необходимо рассчитать показатели прибыли при отборе по одному критерию. Для того чтобы эти показатели были сопоставимы с показателями при многокритериальном отборе, применим следующую методику расчета средней прибыли. Для одного из двух критериев, входящих в соответствующую пару, рассчитываем среднюю прибыль по п лучшим комбинациям (n равно количеству комбинаций, попавших в соответствующий паретовский слой; в предыдущем примере – 5,12, 24 и так далее). Повторяем эту же процедуру для второго критерия. После этого для каждого n вычисляем среднее из двух средних полученных по первому и второму критериям. Полученное значение, соответствующее слою i и паре критериев j, обозначим через mⁱ_j как оценку монокритериального отбора.

Выполнив описанные выше расчеты, мы получили следующий набор данных. Для 20 слоев каждой из 55 пар критериев имеем 1100 показателей прибыли при отборе паретовским методом. Кроме того, мы получили 1100 показателей прибыли при отборе по свертке и столько же при монокритериальном отборе.

Чтобы ответить на вопрос, была ли прибыль при паретовском отборе выше, чем при монокритериальном, проанализируем следующую регрессию. По горизонтальной оси откладывается средняя прибыль при отборе по Парето, а по вертикальной – прибыль при монокритериальном отборе.

Нанесем на двумерный график точки (тⁱ_j,рⁱ_j) для всех пар критериев и паретовских слоев. Если прибыль при паретовском отборе была такой же, как при отборе по одному критерию, то точки регрессии будут располагаться вдоль линии с коэффициентом наклона, равным 1 (у = 1 х х, что означает равенство двух показателей прибыли). Коэффициент наклона линии регрессии >1 означает преимущество монокритериального отбора, тогда как наклон < 1 указывает на то, что прибыль при паретовском отборе выше, чем при монокритериальном. Рисунок 7.4.1 (а) демонстрирует полученную регрессию. Две величины оказались достаточно сильно скоррелированными между собой (R² = 0,72), коэффициент наклона линии регрессии < 1 (b = 0,54), и его отличие от единицы статистически значимо на очень высоком уровне (р < 0,00001).

Если рассмотреть данные рис. 7.4.1 (а) на более узком диапазоне прибыл» (т.е. увеличить ту область, на которой располагается большинство точек) становится хорошо заметно, что большинство точек находятся ниже линии с коэффициентом наклона, равным единице (рис. 7.4.1 (б), у=х обозначено красной линией). Суммарно, отбор по множеству Парето дал в 904 случаях из 1100 более высокую прибыль, чем отбор по одному критерию (в 18 случаях прибыли совпали). Эти результаты приводят к выводу, что с точки зрения прибыли применение многокритериального отбора комбинаций по методу Парето предпочтительнее использования монокритериального отбора.

Теперь приступим к изучению следующего вопроса: была ли прибыль при многокритериальном отборе по методу свертки выше, чем при монокритериальном отборе. Применим методику, аналогичную описанной выше, – исследуем регрессию значений координат точек (sⁱ_j,mⁱ_j). Горизонтальная ось соответствует средней прибыли при отборе по свертке, а вертикальная ось – средней прибыли, полученной при монокритериальном отборе.

Результаты приведены на рис. 7.4.2 (а). Как и в первом случае, оба показателя прибыли скоррелированы между собой (R² = 0,71), коэффициент наклона линии регрессии меньше единицы (b = 0,55) и его отличие от единицы так же статистически значимо на высоком уровне (р < 0,001). Как и в случае паретовского метода, большинство точек находятся ниже линии с коэффициентом наклона, равным единице, что хорошо заметно на более узком диапазоне прибыли, в котором располагается большинство точек (рис. 7.4.2 (б), у=х обозначено красной линией).

Суммарно, отбор по свертке дал в 629 случаях из 1100 более высокую прибыль, чем отбор по одному критерию (в 28 случаях прибыли совпали). На основе этих результатов мы приходим к заключению, что с точки зрения прибыли использование многокритериального отбора комбинаций по методу свертки предпочтительнее применения монокритериального отбора.

Обращает на себя внимание тот факт, что преимущество паретовского метода многокритериального отбора перед монокритериальным более ярко выражено, чем преимущество многокритериального отбора, реализованного методом свертки. Это хорошо заметно при сравнении рис. 7.4.1 (б) и 7.4.2 (б): если в первом случае невооруженным глазом видно, что большинство точек располагается ниже линии паритета двух способов отбора, то во втором случае такое расположение точек хоть и заметно, но далеко не столь очевидно. Возможно, это объясняется тем, что паретовский метод сам по себе дает более высокие показатели прибыли, чем отбор по свертке (подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже).

Результаты, приведенные на рис. 7.4.1 и 7.4.2, получены по данным на 1 марта 2007 г. Мы повторили этот анализ для других дат на семилетнем интервале и получили качественно схожие результаты –- многокритериальный метод стабильно давал более высокие показатели прибыли, чем отбор по одному критерию.

Таким образом, мы доказали, что использование многокритериального отбора дает более высокую прибыль, нежели отбор по одному критерию. Однако здесь нужно сделать одну очень важную оговорку. Этот вывод справедлив только в общем виде. То есть в ситуации, когда на главный вопрос нужно дать один общий ответ, справедливый в большинстве случаев. Ведь ниже линии с коэффициентом наклона b = 1 лежит большинство точек, но не все. И хотя это большинство не случайно, а статистически достоверно, тем не менее 178 точек при отборе по Парето и 443 точки при отборе по свертке (что составляет соответственно 16% и 40% от исследованных случаев) все-таки располагаются выше этой линии. Следовательно, более корректно сформулировать выводы следующим образом: многокритериальный отбор в общем случае дает лучшие результаты, чем отбор по одному критерию; вместе с тем для определенных немногих пар критериев монокритериальный отбор позволяет достичь лучших показателей прибыли, чем многокритериальный. Довольно сложно определить критерий, отбор по которому даст стабильно лучшие результаты, чем многокритериальный отбор. Наш опыт показывает, что в одни периоды времени определенные критерии могут показать лучшие результаты при их отдельном использовании, в то время как в другие периоды такой же эффект демонстрируют совсем другие критерии. Нахождение факторов, определяющих эту динамику, является предметом отдельного исследования и выходит за рамки данной книги. Для целей практической работы можно рекомендовать использование многокритериального отбора (на базе тщательно подобранного набора критериев), как показывающего в большинстве случаев стабильно лучшие результаты.