Вычисление греческих коэффициентов
Метод Монте-Карло позволяет вычислить греческие коэффициенты, описанные в главе 15. Предположим, что нас интересует частная производная функции f по переменной x, где f – стоимость дериватива, а х – величина базовой переменной или параметра. С помощью метода Монте-Карло можно вычислить оценку
Затем необходимо изменить величину х на небольшую величину Ах и вычислить новую оценку
В этом случае параметр хеджирования вычисляется по формуле
Чтобы минимизировать стандартную ошибку оценки, количество временных интервалов N, количество случайных чисел и количество испытаний М при вычислении оценок
должны быть одинаковыми.
Случайное блуждание по дереву
Вместо генерирования случайных значений, подчиненных стохастическому процессу, можно генерировать 2N случайных траекторий случайной величины, используя N-уровневые биномиальные деревья. Допустим, что мы построили биномиальное дерево, в котором вероятность роста стоимости актива равна 0,6.
Процедура случайного блуждания по дереву выглядит следующим образом. В каждом узле генерируется случайное число, лежащее в интервале от нуля до единицы. Если это число меньше 0,4, траектория обхода дерева поворачивает вниз, если больше 0,4 – вверх. Пройдя весь путь от начала до конца дерева, мы можем вычислить выигрыш.
Повторяя эту процедуру много раз, можно вычислить средний выигрыш, применить к нему дисконтную ставку, равную безрисковой процентной ставке, и оценить стоимость дериватива.
Пример 17.9
Предположим, что для оценки стоимости опциона, выплаты по которому равны max(Save – 50,0), где Save – средняя цена акции на протяжении пяти месяцев (с учетом первой и последней цены), используется дерево, изображенное на рис. 17.3. Этот опцион называется азиатским. В табл. 17.3 приведены результаты десяти испытаний.
Вычисленная стоимость опциона равна среднему размеру выплат, дисконтированных по безрисковой процентной ставке. В данном случае средний размер выплат равен 7,08, а безрисковая процентная ставка равна 10%. Следовательно, вычисленная стоимость опциона равна 7,08е-0,1x5/12 = 6,79. (Этот пример носит иллюстративный характер. На практике, чтобы добиться приемлемой точности, нам пришлось бы провести намного больше испытаний.)
|