Упражнения

17.25. Цена исполнения однолетнего американского опциона на продажу швейцарских франков равна 0,80 долл. Волатильность курса швейцарского франка равна 10%, процентная ставка в США равна 6%, процентная ставка в Швейцарии равна 3%, а текущий валютный курс равен 0,81 долл. Вычислите стоимость опциона с помощью трехуровневого биномиального дерева. Оцените коэффициент дельта.

17.26. Цена исполнения однолетнего американского опциона на покупку фьючерсного контракта на поставку серебра равна 9,00 долл. Текущая фьючерсная цена равна 8,50 долл., безрисковая процентная ставка – 12% годовых, а волатильность фьючерсной цены – 25% в год. Примените программу DerivaGem с четырьмя трехмесячными временными интервалами и вычислите стоимость опциона. Изобразите дерево и проверьте, что стоимость опциона в последнем и предпоследнем узлах вычислена правильно. Оцените стоимость европейского опциона с теми же параметрами. Уточните полученную оценку стоимости американского опциона с помощью метода контрольной величины.

17.27. Цена исполнения шестимесячного американского опциона на покупку акций, предусматривающих выплату дивидендов через два и пять месяцев в размере одного доллара на акцию, равна 34 долл. Текущая цена акции равна 30 долл., безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, а волатильность компонента цены акции, не влияющего на выплату дивидендов, равна 30% в год. Примените программу DerivaGem с шестью временными интервалами и вычислите стоимость опциона. Сравните ответ с результатом применения формулы Блэка-Шоулза (см. раздел 13.12).

17.28. Текущая стоимость британского фунта стерлингов равна 1,60 долл., а волатильность обменного курса доллар-фунт равна 15% в год. Цена исполнения американского опциона на покупку фунта стерлингов равна 1,62 долл., а до окончания срока действия опциона остался один год. Безрисковые процентные ставки в США и Великобритании равны 6 и 9% годовых соответственно. Оцените стоимость опциона с помощью явного конечно-разностного метода. Постройте разностную сетку, считая, что валютный курс изменяется от 0,80 до 2,40 с шагом, равным 0,20, а длина временного интервала равна трем месяцам.

17.29. Ответьте на следующие вопросы, связанные с альтернативными процедурами построения деревьев.

1) Докажите, что биномиальная модель, описанная в разделе 17.4, согласована с математическим ожиданием и дисперсией изменения логарифма цены акции за время Δt.

2) Докажите, что триномиальная модель, описанная в разделе 17.4, согласована с математическим ожиданием и дисперсией изменения логарифма цены акции за время Δt, при условии что в разложении Тейлора отбрасываются члены, содержащие величины (Δt)² и степени величины Δt более высокого порядка.

3) Опишите альтернативу триномиальной модели, описанной в разделе 17.4, так, чтобы вероятности перехода на верхнюю, среднюю и нижнюю ветви, исходящие из каждого узла, были равны 1/6. 2/3 и 1/6. Будем считать, что на каждой из ветвей цена акции изменяется от S до Su, Sm или Sd соответственно, где т² = ud. Добейтесь точного совпадения с математическим ожиданием и дисперсией логарифма цены акции.

17.30. Функции программы DenvaGem Application Bulder позволяют исследовать сходимость оценок стоимости деривативов, вычисленных с помощью биномиальных деревьев, к точному решению при увеличении количества шагов по времени (см. рис. 17.4 и пример Sample Application А в программе DenvaGem). Проанализируйте опцион на продажу фондового индекса, если текущий уровень индекса равен 900 пунктам, цена исполнения равна 900 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, доходность индекса равна 2%, а до окончания срока действия осталось два года.

1) Постройте график, иллюстрирующий сходимость оценки к реальной стоимости, если опцион является европейским, а волатильность индекса равна 20%.

2) Постройте график, иллюстрирующий сходимость оценки к реальной стоимости, если опцион является американским, а волатильность индекса равна 20%.

3) Постройте график зависимости оценки американского опциона при 20%-ной волатильности от количества временных интервалов, считая, что для уточнения оценки используется метод контрольной величины.

4) Предположим, что рыночная цена американского опциона равна 85,0 долл. Постройте график зависимости подразумеваемой волатильности от количества временных интервалов.